5.6.4 Aufgaben

Wie groß ist der Winkel $\phi$ im Gradmaß, den der Punkt $P_{\phi }=(-0.643;-0.766)$ auf dem Einheitskreis mit dem Nullpunkt im kartesischen Koordinatensystem einschließt? Verwenden Sie dazu den Taschenrechner, aber vertrauen Sie ihm nicht blind!
Ergebnis: $\phi$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
${}^{\circ }$
Lösung

Aus den Koordinaten des Punktes $P_{\phi }$ ergibt sich:

${\displaystyle \cos \left(\alpha \right)=-0.643\mathrm{ }\text{und}\mathrm{ }\sin \left(\alpha \right)=-0.766\hspace{0.5em}.}$
Wenn Sie in den Taschenrechner

• invers(cos(-0.643)) bzw. ${\cos }^{-1}$(-0.643) eingeben, erhalten Sie ungefähr $130{}^{\circ }$, und
  
• bei Eingabe von invers(sin(-0.766)) bzw. ${\sin }^{-1}$(-0.766) erhalten Sie ungefähr $-50{}^{\circ }$.
  

Außerdem wissen Sie, dass der Punkt im dritten Quadranten liegt. Somit muss der Wert für den Winkel im Bereich zwischen $180{}^{\circ }$ und $270{}^{\circ }$ liegen.

Anhand der Zeichnung erkennt man, dass der negative Kosinuswert zum Winkel $-130{}^{\circ }$ und zu $\phi =-130{}^{\circ }=-130{}^{\circ }+360{}^{\circ }=230{}^{\circ }$ gehört. Ebenso kann der negative Sinuswert zu $-50{}^{\circ }$ und zu $\phi =-(-50{}^{\circ })+180{}^{\circ }=230{}^{\circ }$ gehören. Da dieser Wert im oben genannten Bereich liegt, ist $\phi =230{}^{\circ }$ der gesuchte Wert des Winkels, der in der Zeichnung rosa gekennzeichnet ist.

1. Für ein im Punkt $C$ rechtwinkliges Dreieck seien eine Kathete $b=2.53\hspace{0.17em}\mathrm{cm}$ und die Hypotenuse $c=3.88\hspace{0.17em}\mathrm{cm}$ gegeben. Berechnen Sie die Länge der anderen Kathete $a$ und die Sinuswerte $\sin \left(\alpha \right)$ sowie $\sin \left(\beta \right)$. Runden Sie Ihre Ergebnisse bitte auf vier Nachkommastellen.
   Ergebnisse:
   • $a$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
     $\hspace{0.17em}\mathrm{cm}$
     
   • $\sin \left(\alpha \right)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
     
   • $\sin \left(\beta \right)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
     
   
   Lösung
   Es ist
   
   ${\displaystyle a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{{\left(3.88\hspace{0.17em}\mathrm{cm}\right)}^2-{\left(2.53\hspace{0.17em}\mathrm{cm}\right)}^2}=\sqrt{15.0544\hspace{0.17em}\mathrm{cm}{}^2-6.4009\hspace{0.17em}\mathrm{cm}{}^2}=\sqrt{8.6535}\hspace{0.17em}\mathrm{cm}\hspace{0.5em},}$
   und
   
   ${\displaystyle \sin \left(\alpha \right)=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{8.6535}\hspace{0.17em}\mathrm{cm}}{3.88\hspace{0.17em}\mathrm{cm}}=\frac{\sqrt{86535}}{388}\mathrm{ }\text{und}\mathrm{ }\sin \left(\beta \right)=\frac{b}{c}=\frac{2.53\hspace{0.17em}\mathrm{cm}}{3.88\hspace{0.17em}\mathrm{cm}}=\frac{253}{388}\hspace{0.5em}.}$
   Numerisch ergibt sich $a\approx 2.9417\hspace{0.17em}\mathrm{cm}$, $\sin \left(\alpha \right)\approx 0.7582$ und $\sin \left(\beta \right)\approx 0.6520$.
   
   
2. Es wird ein Dreieck mit den Seiten $a=4\hspace{0.17em}\mathrm{m}$ und $c=60\hspace{0.17em}\mathrm{cm}$ und dem Winkel $\beta =\measuredangle (a,c)=\frac{11\pi }{36}$ betrachtet. Berechnen Sie den Flächeninhalt $F$ des Dreiecks und runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen.
   Ergebnis: $F$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   $\hspace{0.17em}\mathrm{m}{}^2$
   Geben Sie Ihr Ergebnis bitte auf drei Nachkommastellen gerundet oder als Ausdruck an. Dabei wird der Sinus eines Winkels $x$ als sin(x) und die Zahl $\pi$ als pi geschrieben.
   Lösung
   Der Flächeninhalt ist durch
   
   ${\displaystyle F=\frac{1}{2}·(a·\sin \left(\beta \right))·c=\frac{1}{2}·4\hspace{0.17em}\mathrm{m}·\sin \left(\frac{11\pi }{36}\right)·0.6\hspace{0.17em}\mathrm{m}=\sin \left(\frac{11\pi }{36}\right)·1.2\hspace{0.17em}\mathrm{m}{}^2\approx 0.983\hspace{0.17em}\mathrm{m}{}^2}$
   gegeben.