7.1.4 Aufgaben

Berechnen Sie mittels Differenzenquotient die Ableitung von

f : ℝ \to ℝ

x \to f (x) : = 4 - x^{2}

an den Stellen

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 1

.
Antwort:

Der Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $x_{1} = - 2$ ist
und hat für $x \to - 2$ den Grenzwert $f' (- 2) =$ .
Der Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $x_{2} = 1$ ist
und hat für $x \to 1$ den Grenzwert $f' (1) =$ .

An der Stelle $x_{1} = - 2$ gilt für den Differenzenquotienten

$\frac{Δ (f)}{Δ (x)} = \frac{f (x) - f (x_{1})}{x - x_{1}} = \frac{f (x) - f (- 2)}{x - (- 2)} = \frac{4 - x^{2} - 0}{x + 2} = \frac{(2 - x) (2 + x)}{2 + x} = 2 - x .$
Für $x \to x_{1}$ , also $x \to - 2$ , strebt dieser Differenzenquotient gegen $2 - (- 2) = 4$ ; daher $f' (- 2) = 4$ .
An der Stelle $x_{2} = 1$ gilt für den Differenzenquotienten

$\frac{Δ (f)}{Δ (x)} = \frac{f (x) - f (x_{2})}{x - x_{2}} = \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \frac{4 - x^{2} - 3}{x - 1} = \frac{1 - x^{2}}{x - 1} = - \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = - x - 1 .$
Für $x \to x_{2}$ , also $x \to 1$ , besitzt dieser Differenzenquotient den Grenzwert $- 1 - 1 = - 2$ ; daher $f' (1) = - 2$ .

Erläutern Sie, warum

nicht differenzierbar sind.
Antwort:

Die Ableitung von $f$ existiert an der Stelle $x_{0} = - 3$ nicht, da der Differenzenquotient
für $h \to 0$ nicht konvergiert.
Die Ableitung von $g$ existiert an der Stelle $x_{0} = 5$ nicht, da der Differenzenquotient für $h < 0$ den Wert
und für $h > 0$ den Wert
hat. Somit existiert der Grenzwert für $h \to 0$ nicht.

Der Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $x_{0} = - 3$ ist

$\frac{Δ (f)}{Δ (x)} = \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} = \frac{\sqrt{- 3 + h + 3} - \sqrt{- 3 + 3}}{h} = \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}} .$
Für $h \to 0$ ( $h > 0$ ) wächst dieser Differenzenquotient über alle Maßen, d.h. der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nicht.
Der Differenzenquotient von $g$ an der Stelle $x_{0} = 5$ ist

$\frac{Δ (g)}{Δ (x)} = \frac{g (x_{0} + h) - g (x_{0})}{h} = \frac{6 \cdot | 2 (5 + h) - 10 | - 6 \cdot | 2 \cdot 5 - 10 |}{h} = \frac{12 | h | - 0}{h} = \frac{12 | h |}{h} .$
Für $h < 0$ hat der Differenzenquotient wegen $| h | = - h$ also den Wert $- 12$ , für $h > 0$ dagegen wegen $| h | = h$ den Wert $12$ . Somit existiert kein Grenzwert des Differenzenquotienten. (Ein Grenzwert ist immer eindeutig.)