Kapitel 7 Differentialrechnung

Abschnitt 7.2 Standardableitungen

7.2.2 Ableitung von Potenzfunktionen


Aus der Einführung der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten ergibt sich für eine affin lineare Funktion (siehe Modul 6, Abschnitt (VERWEIS)) f:ℝ→ℝ, x→f(x)=mx+b, wobei m und b gegebene Zahlen sind, dass der Wert der Ableitung von f an der Stelle x0 gleich f'( x0 )=m ist. (Die geneigte Leserin, der geneigte Leser möge dies gerne selbst überprüfen!)
Für Monome xn mit n≥1 ist es am einfachsten, die Ableitung über den Differenzenquotienten zu bestimmen. Ohne hier eine detaillierte Rechnung oder einen Beweis anzugeben, erhält man die folgenden Aussagen:
Ableitung von xn 7.2.1
Gegeben sind eine natürliche Zahl n und eine reelle Zahl r.
Die konstante Funktion f:ℝ→ℝ mit x→f(x):=r=r· x0 besitzt die Ableitung

f':ℝ→ℝ  mit  x→f'(x)=0 .

Die Funktion f:ℝ→ℝ mit x→f(x):=r· xn besitzt die Ableitung

f':ℝ→ℝ  mit  x→f'(x)=r·n· xn-1  .

Diese Ableitungsregel gilt im Übrigen auch für n∈ℝ∖{0}.

Auch die Überprüfung dieser Aussagen sei dem Selbststudium überlassen!
Beispiel 7.2.2
Die folgende Untersuchung gilt der Funktion f:ℝ→ℝ mit x→f(x)=5 x3 . Der Vergleich der gegebenen Funktion mit den oben verwendeten Bezeichnungen ergibt r=5 und n=3. Damit erhält man für den Wert der Ableitung an der Stelle x

f'(x)=5·3 x3-1 =15 x2  .


Für Wurzelfunktionen ergibt sich eine entsprechende Aussage. Allerdings ist zu beachten, dass Wurzelfunktionen nur für x>0 differenzierbar sind. Denn die Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt (0;0) verläuft parallel zur y-Achse und ist somit kein Schaubild einer Funktion.
Ableitung von x 1 n 7.2.3
Für n∈ℤ mit n≠0 ist die Funktion f:[0;∞[ →ℝ, x→f(x):= x 1 n für x>0 differenzierbar, und es gilt

f': ]0;∞[ →ℝ ,  x→f'(x)= 1 n · x 1 n -1  .


Für n∈ℕ werden durch f(x)= x 1 n Wurzelfunktionen beschrieben. Die hier wiedergegebene Ableitungsregel gilt natürlich auch für n=1 oder n=-1, da sie für ganze Zahlen gültig ist.
Beispiel 7.2.4
Die Wurzelfunktion f:[0;∞[ →ℝ mit x→f(x):=x= x 1 2 ist für x>0 differenzierbar. Der Wert der Ableitung an einer beliebigen Stelle x>0 ist durch

f'(x)= 1 2 · x 1 2 -1 = 1 2 · x- 1 2 = 1 2·x

gegeben. Die Ableitung in x0 =0 existiert nicht, da die Tangente an den Graphen von f dort eine unendliche Steigung hätte.

Die Tangente im Punkt (1;1) an den Graphen der vorliegenden Wurzelfunktion weist die Steigung 1 21 = 1 2 auf.

Die bisherigen Aussagen können für x>0 auf Exponenten p∈ℝ mit p≠0 ausgedehnt werden: Der Wert f'(x) der Ableitung einer Funktion f mit Funktionsterm f(x)= xp für x>0 ist

f'(x)=p· xp-1  .


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