8.1.3 Aufgaben

Geben Sie eine Stammfunktion an:

1. ${\displaystyle \int (12x^2-4x^7)dx}$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   . Lösung
   Es ist
   
   ${\displaystyle \int (12x^2-4x^7)dx=12·\frac{1}{3}·x^3-4·\frac{1}{8}·x^8+C=4·x^3-\frac{1}{2}·x^8+C\hspace{0.5em}.}$
   
   
   
2. ${\displaystyle \int (\sin (x)+\cos (x))dx}$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   . Lösung
   Es ist
   
   ${\displaystyle \int (\sin (x)+\cos (x))dx=-\cos (x)+\sin (x)+C=\sin (x)-\cos (x)+C\hspace{0.5em}.}$
   
   
   
3. ${\displaystyle \int \frac{1}{6\sqrt{x}}\hspace{0.17em}dx}$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   . Lösung
   Es ist $\frac{1}{6\sqrt{x}}=\frac{1}{6}·\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{6}·x^{-\frac{1}{2}}$. Somit ist
   
   ${\displaystyle \int \frac{1}{6\sqrt{x}}\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{6}·\int x^{-\frac{1}{2}}\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{6}·\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}·x^{-\frac{1}{2}+1}+C=\frac{1}{6}·2·x^{\frac{1}{2}}+C=\frac{1}{3}·\sqrt{x}+C\hspace{0.5em}.}$
   
   
   

Bestimmen Sie eine Stammfunktion:

1. ${\displaystyle \int e{}^{x+2}\hspace{0.17em}dx}$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   . Lösung
   Es ist ${\displaystyle \int e{}^{x+2}\hspace{0.17em}dx=\int e{}^x·e{}^2\hspace{0.17em}dx=e{}^2·\int e{}^x\hspace{0.17em}dx=e{}^2·e{}^x+C=e{}^x·e{}^2+C=e{}^{x+2}+C}$.
   
   
2. ${\displaystyle \int 3x·\sqrt[4]{x}\hspace{0.17em}dx}$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   . Lösung
   Es ist ${\displaystyle \int 3x·\sqrt[4]{x}\hspace{0.17em}dx=3·\int x·x^{\frac{1}{4}}\hspace{0.17em}dx=3·\int x^{\frac{5}{4}}\hspace{0.17em}dx=3·\frac{4}{9}·x^{\frac{9}{4}}+C=\frac{4}{3}·x^{\frac{9}{4}}+C}$.
   
   

iExpInputHint

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen für reelle Funktionen richtig sind.

richtig?	Aussage:
	$F$ mit $F(x)=-\frac{\cos (\pi x)+2}{\pi }$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=\sin (\pi x)+2$.
	$F$ mit $F(x)=-\frac{\cos (\pi x)+2}{\pi }$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=\sin (\pi x)$.
	$F$ mit $F(x)=-7$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=-7x$ für $x\in ℝ$.
	$F$ mit $F(x)=(\sin (x{))}^2$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=2\sin (x)\cos (x)$.
	Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, $G$ eine Stammfunktion von $g$, dann ist $F+G$ ist eine Stammfunktion von $f+g$.

Eingabe überprüfen
Lösung

Bestimmen Sie eine Stammfunktion zu

1. ${\displaystyle f(x):=\frac{8x^3-6x^2}{x^4}}$,
   
2. ${\displaystyle g(x):=\frac{18x^2}{3\sqrt{x^5}}}$,
   
3. ${\displaystyle h(x):=\frac{x+2\sqrt{x}}{4x}}$,
   

für $x>0$, nachdem Sie die Funktionsterme als gekürzte Summen von Brüchen geschrieben haben:

1. Mit der Vereinfachung $f(x)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   
   ergibt sich $F(x)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   für $x>0$.
   Lösung
   Der Funktionsterm lässt sich zu $f(x)=\frac{8}{x}-\frac{6}{x^2}=\frac{8}{x}-6x^{-2}$ vereinfachen, was auf
   
   ${\displaystyle F(x)\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}8·\ln (x)+\frac{6}{x}+C}$
   für $x>0$ und $C\in ℝ$ führt.
   
   
2. Mit der Vereinfachung $g(x)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   
   ergibt sich $G(x)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   für $x>0$.
   Lösung
   Der Funktionsterm lässt sich zu $g(x)=\frac{6}{\sqrt{x}}=6·x^{-\frac{1}{2}}$ vereinfachen, was auf
   
   ${\displaystyle G(x)\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}6·2·\sqrt{x}+C=12·\sqrt{x}+C}$
   für $x>0$ und $C\in ℝ$ führt.
   
   
3. Mit der Vereinfachung $h(x)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   
   ergibt sich $H(x)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
   für $x>0$.
   Lösung
   Der Funktionsterm lässt sich zu $h(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2·\sqrt{x}}$ vereinfachen, was auf
   
   ${\displaystyle H(x)\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\frac{1}{4}·x+\sqrt{x}+C}$
   für $x>0$ und $C\in ℝ$ führt.
   
   

Schreiben Sie beispielsweise $\sqrt{x}$ als sqrt(x).

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{x}$ für $x>0$. Weiter sind Funktionen $F_1$ und $F_2$ mit $F_1(x)=\ln (7x)$ bzw. $F_2(x)=\ln (x+7)$ für $x>0$ gegeben. Berechnen Sie die Ableitung von $F_1$ und von $F_2$, und beantworten Sie die Frage ob, es sich um Stammfunktionen von $f$ handelt:
Es ist: $F_1\text{'}(x)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
und $F_2\text{'}(x)$$\hspace{0.5em}=\hspace{0.5em}$
.
Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:
$F_1$ ist eine Stammfunktion von $f$. 
$F_2$ ist eine Stammfunktion von $f$. 

Eingaben überprüfen
Lösung

Die Ableitung von $F_1$ mit $F_1(x)=\ln (7x)$ für $x>0$ ist $F_1\text{'}(x)=\frac{1}{7x}·7=\frac{1}{x}=f(x)$. Somit ist $F_1$ eine Stammfunktion von $f$.
Die Funktion $F_2$ mit $F_2(x)=\ln (x+7)$ für $x>0$ hat die Ableitung $F_2\text{'}(x)=\frac{1}{x+7}·1=\frac{1}{x+7}\ne \frac{1}{x}$ für alle $x>0$. Deshalb ist $F_2$ keine Stammfunktion von $f$.

Es wird angenommen, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=1+x^2$ ist und $F$ den Funktionswert $F(0)=1$ hat. Dann ist $F(3)$ =
. Lösung

Nach Voraussetzung ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=1+x^2$. Somit gilt $F\text{'}(x)=f(x)=1+x^2=x^0+x^2$, woraus

${\displaystyle F(x)=\frac{1}{0+1}·x^{0+1}+\frac{1}{2+1}·x^{2+1}+C=x+\frac{1}{3}·x^3+C}$
für eine reelle Zahl $C$ folgt. Außerdem soll $F(0)=1$ gelten, sodass $1=F(0)=0+\frac{1}{3}·0^3+C=C$ ist. Damit erhält man $F(x)=\frac{1}{3}·x^3+x+1$. Einsetzen von $x=3$ ergibt den gesuchten Wert $F(3)=\frac{1}{3}·3^3+3+1=13$.