Kapitel 8 Integralrechnung

Abschnitt 8.2 Bestimmtes Integral

8.2.3 Rechenregeln

Zerlegung des Integrationsintervalls eines Integrals 8.2.5

Sei

f : [a; b] \to ℝ

eine integrierbare Funktion. Dann gilt für jede Zahl

z

zwischen

a

und

b

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{z} f (x) d x + \int_{z}^{b} f (x) d x .

Mit der Festlegung

\int_{d}^{c} f (x) d x : = - \int_{c}^{d} f (x) d x

gilt die obige Regel für alle reellen Zahlen

z

, für die die beiden rechts stehenden Integrale existieren, auch wenn

z

nicht zwischen

a

und

b

liegt. Bevor obige Rechenregel an einem Beispiel erläutert wird, wird die genannte Festlegung noch ausführlich notiert.

Vertauschung der Grenzen eines Integrals 8.2.6

Sei

f : [a; b] \to ℝ

eine integrierbare Funktion. Dann wird das Integral der Funktion

f

von

b

bis

a

gemäß

\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

berechnet.

Die oben beschriebene Rechenregel ist praktisch, um Funktionen mit Beträgen oder andere abschnittsweise definierte Funktionen zu integrieren.

Beispiel 8.2.7

Das Integral der Funktion

f : [- 4; 6] \to ℝ, x \mapsto | x |

ist

\begin{matrix} \int_{- 4}^{6} | x | d x & = & \int_{- 4}^{0} (- x) d x + \int_{0}^{6} x d x \\ = & {[- \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 4}^{0} + {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{6} \\ = & (0 - (- 8)) + (18 - 0) \\ = & 26 . \end{matrix}

Die Integration über die Summe zweier Funktionen kann ebenfalls in zwei Integrale zerlegt werden:

Summen- und Faktorregel 8.2.8

Seien

f

und

g

auf

[a; b]

integrierbare Funktionen und

r

eine reelle Zahl. Dann gilt

\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x .

(8.2.2)

Für Vielfache einer Funktion gilt

\int_{a}^{b} r \cdot f (x) d x = r \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x .

(8.2.3)

Diese Inhalte liegen über dem Kursniveau und werden in den Aufgaben und Tests nicht abgefragt.

Auch für die Berechnung eines Produktes zweier Funktionen gibt es eine Rechenregel. Sie ergibt sich aus der Produktregel der Ableitung.

Partielle Integration 8.2.9

Seien

u

und

v

auf

[a; b]

differenzierbare Funktionen mit stetigen Ableitungen

u'

beziehungsweise

v'

. Für das Integral der Funktion

u \cdot v'

gilt dann

\int_{a}^{b} u (x) \cdot v' (x) d x = {[u (x) \cdot v (x)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u' (x) \cdot v (x) d x,

wobei

u'

die Ableitung von

u

ist und

v

eine Stammfunktion von

v'

ist. Diese Rechenregel wird partielle Integration genannt.

Auch zu dieser Regel wird ein Beispiel betrachtet:

Beispiel 8.2.10

Es wird das Integral

\int_{0}^{π} x \sin (x) d x

mit Hilfe der partiellen Integration berechnet. Dazu werden die Funktionen

u

und

v'

mit

\begin{matrix} u (x) = x und v' (x) = \sin (x) \end{matrix}

gewählt. Damit erhält man

\begin{matrix} u' (x) = 1 und v (x) = - \cos x . \end{matrix}

So kann man das gesuchte Integral mit partieller Integration berechnen:

\begin{matrix} \int_{0}^{π} x \sin x d x & = & {[x \cdot (- \cos (x))]}_{0}^{π} - \int_{0}^{π} 1 \cdot (- \cos x) d x \\ = & π \cdot (- \cos (π)) - 0 + \int_{0}^{π} \cos (x) d x \\ = & π \cdot (- (- 1)) + {[\sin (x)]}_{0}^{π} = π . \end{matrix}

Die Zuordnung der Funktionen

u

und

v'

muss zielführend erfolgen. Dies wird am obigen Beispiel deutlich, wenn die Rollen von

u

und

v'

vertauscht werden. Die Leserin bzw. der Leser mag probieren, dieses Beispiel zu lösen, indem

u

und

v'

anders herum gewählt werden!

Anhand der folgenden beiden Übungsaufgaben kann man die Regel zur partiellen Integration selbst anwenden lernen.

Aufgabe 8.2.11

Es soll das Integral

I = \int_{1}^{4} x \cdot e^{x} d x

berechnet werden:

I =

Der Integrand

f

mit

f (x) = x \cdot e^{x}

ist ein Produkt einer Polynomfunktion

u

mit

u (x) = x

und einer Exponentialfunktion. Die Ableitung von

u

ist

u' (x) = 1

, also eine konstante Funktion. Außerdem ist zur Exponentialfunktion eine Stammfunktion bekannt: Zu

v'

mit

v' (x) = e^{x}

ist

v

mit

v (x) = e^{x}

eine Stammfunktion. Damit erhält man mit partieller Integration

\begin{matrix} \int_{1}^{4} x \cdot e^{x} d x & = & {[x \cdot e^{x}]}_{1}^{4} - \int_{1}^{4} 1 \cdot e^{x} d x \\ = & {[x \cdot e^{x}]}_{1}^{4} - {[e^{x}]}_{1}^{4} \\ = & {[x \cdot e^{x} - e^{x}]}_{1}^{4} \\ = & {[(x - 1) \cdot e^{x}]}_{1}^{4} \\ = & 3 e^{4} . \end{matrix}

Aufgabe 8.2.12

Es soll das Integral

I = \int_{1}^{8} x \cdot \ln (x) d x

berechnet werden:

I =

Der Integrand

f

mit

f (x) = x \cdot \ln (x) = \ln (x) \cdot x

für

1 \leq x \leq 8

ist ein Produkt einer Polynomfunktion und einer Logarithmusfunktion. Die Ableitung der Logarithmusfunktion

u

mit

u (x) = \ln (x)

ergibt

u' (x) = \frac{1}{x}

. Somit ist

u'

eine ,,einfache'' rationale Funktion. Weiter ist zur Polynomfunktion

v'

mit

v' (x) = x

eine Stammfunktion bekannt, nämlich

v

mit

v (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{2}

.
Das Produkt

u' \cdot v

mit

u' (x) \cdot v (x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} x^{2} = \frac{1}{2} x

für

1 \leq x \leq 8

ist eine stetige Funktion, zu der ebenfalls eine Stammfunktion bekannt ist. Damit kann das gesuchte Integral mittels partieller Integration gemäß

\begin{matrix} \int_{1}^{8} x \cdot \ln (x) d x = \int_{1}^{8} \ln (x) \cdot x d x & = & {[\ln (x) \cdot \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} x^{2} d x \\ = & {[\ln (x) \cdot \frac{1}{2} x^{2}]}_{1}^{8} - \int_{1}^{8} \frac{1}{2} x d x \\ = & {[\frac{1}{2} x^{2} \cdot \ln (x) - \frac{1}{4} x^{2}]}_{1}^{8} \\ = & (32 \ln (8) - 16) - (\frac{1}{2} \cdot \ln (1) - \frac{1}{4}) \\ = & 96 \ln (2) - 16 + \frac{1}{4} . \end{matrix}

berechnet werden, wobei

\ln (8) = \ln (2^{3}) = 3 \cdot \ln (2)

und

\ln (1) = 0

verwendet wurde.

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